Какой частью речи является слово "их"?

Слово «их» является местоимением.

Точнее, оно может выступать в двух основных значениях.

1. Личное местоимение

Слово «их» может быть формой личного местоимения «они» в родительном или винительном падеже.

Примеры:

Я видел их вчера.
Видел кого? — их.
Здесь «их» — личное местоимение, винительный падеж.

У их родителей был большой дом — так обычно не говорят, но по смыслу «их» связано с местоимением «они».

2. Притяжательное местоимение

Слово «их» может обозначать принадлежность: чей? чья? чьё? чьи?

Примеры:

Это их дом.
Дом чей? — их.

Их машина стояла у подъезда.
Машина чья? — их.

Их дети уже выросли.
Дети чьи? — их.

В таких случаях «их» обычно называют притяжательным местоимением.

Важно: слово «их» не изменяется по родам, числам и падежам:

их дом, их квартира, их окно, их книги.

То есть кратко:

«Их» — это местоимение. В зависимости от предложения оно может быть личным местоимением или притяжательным местоимением.