Однокоренное к слову "прощальные".

Однокоренными к слову «прощальные» будут слова с тем же корнем -прощ-, связанные по значению с прощанием.

Например:

прощание, прощаться, прощальный, прощаясь, проститься, попрощаться.

Лучший простой вариант однокоренного слова:

прощание

Разбор слова «прощальные»:
прощ — корень,
альн — суффикс,
ые — окончание.

Слово «прощальные» означает «связанные с прощанием», поэтому однокоренное слово «прощание» подходит точнее всего.