1) По обоим берегам Северского Донца растут сосны. 2) В Белгороде около девяти вузов. 3) В январе тысяча девятьсот девяносто девятого года в Белгороде состоялся I Международный фестиваль современной музыки. 4) За последние восемь лет в Белгородскую область для постоянного проживания приехали более двухсот восьмидесяти тысяч человек.

Разберу фразы с точки зрения употребления числительных и форм слов при них, потому что именно здесь в каждом варианте есть потенциально проверяемое место.

Правильными с точки зрения употребления числительных являются все четыре предложения.

1. По обоим берегам Северского Донца растут сосны.
   Здесь числительное обоим употреблено верно. Слово берег мужского рода, поэтому нужна форма оба — обоих — обоим, а не обеим. Правильно: по обоим берегам.

2. В Белгороде около девяти вузов.
   Форма девяти употреблена правильно, потому что после предлога около требуется родительный падеж. Правильно: около девяти вузов.

3. В январе тысяча девятьсот девяносто девятого года в Белгороде состоялся I Международный фестиваль современной музыки.
   Дата оформлена правильно: тысяча девятьсот девяносто девятого года. В составном порядковом числительном изменяется последняя часть: девяносто девятого. Римская цифра I читается как первый, то есть Первый Международный фестиваль.

4. За последние восемь лет в Белгородскую область для постоянного проживания приехали более двухсот восьмидесяти тысяч человек.
   Форма восемь лет верна после предлога за в значении периода времени. Сочетание более двухсот восьмидесяти тысяч человек тоже оформлено правильно: после более числительное стоит в родительном падеже — двухсот восьмидесяти тысяч.

Итак, ошибок в употреблении числительных в этих предложениях нет.