Исправить ошибки в предложениях с деепричастными оборотами, сохранив их (обороты): 1. Поступив работать на завод, у меня оставалось мало времени. 2. Катерина жила в родном доме, как птичка на воле, но, попав в дом Кабанихи, жизнь её резко переменилась. 3. Не рассмотрев образ автора в "Евгении Онегине", мой анализ будет односторонним. 4. В пьесе есть и второстепенные герои; не упомянув о них, моё сочинение осталось бы незаконченным. 5. Начав читать такую книгу, она затягивает тебя как болото.

Вот исправленные варианты предложений с сохранением деепричастных оборотов, с разбором ошибок:

1. Ошибочное предложение: «Поступив работать на завод, у меня оставалось мало времени.»
   Ошибка: Деепричастный оборот «поступив работать на завод» относится к действию, которое совершает подлежащее, а подлежащее здесь — «у меня», что логически неверно.
   Исправленный вариант: «Поступив работать на завод, я стал иметь мало свободного времени.»
   Или: «Поступив работать на завод, я обнаружил, что у меня остаётся мало времени.»

2. Ошибочное предложение: «Катерина жила в родном доме, как птичка на воле, но, попав в дом Кабанихи, жизнь её резко переменилась.»
   Ошибка: Деепричастный оборот «попав в дом Кабанихи» относится к Катерине, здесь смысл понятен, но лучше убрать лишнюю запятую перед оборотом.
   Исправленный вариант: «Катерина жила в родном доме, как птичка на воле, но попав в дом Кабанихи, жизнь её резко переменилась.»

3. Ошибочное предложение: «Не рассмотрев образ автора в "Евгении Онегине", мой анализ будет односторонним.»
   Ошибка: Деепричастный оборот «не рассмотрев образ автора» должен относиться к подлежащему, но подлежащее «мой анализ», а не человек.
   Исправленный вариант: «Если я не рассмотрю образ автора в "Евгении Онегине", мой анализ будет односторонним.»
   Или: «Не рассмотрев образ автора в "Евгении Онегине", я рискую сделать односторонний анализ.»

4. Ошибочное предложение: «В пьесе есть и второстепенные герои; не упомянув о них, моё сочинение осталось бы незаконченным.»
   Ошибка: Подлежащее «моё сочинение» не может совершать действие «не упомянув», действие должно относиться к автору.
   Исправленный вариант: «В пьесе есть и второстепенные герои; не упомянув о них, я оставил бы своё сочинение незаконченным.»

5. Ошибочное предложение: «Начав читать такую книгу, она затягивает тебя как болото.»
   Ошибка: Деепричастный оборот «начав читать такую книгу» относится к подлежащему, а здесь подлежащее — «она», т.е. книга, а смысл таков, что читатель начинает читать.
   Исправленный вариант: «Начав читать такую книгу, ты сразу попадаешь в её захватывающий мир.»
   Или: «Начав читать такую книгу, я почувствовал, что она затягивает меня как болото.»

В общем, основная проблема всех предложений — несогласованность подлежащего и деепричастного оборота, и её исправление требует, чтобы действие деепричастия совпадало с подлежащим.