Какой частью речи являются слова "зачем", "от того", "затем", "от чего", "поэтому"?

Слова «зачем», «затем», «почему», «поэтому» и сочетания «от того», «от чего» могут относиться к разным частям речи или выполнять разные синтаксические роли. Здесь важно различать слитное написание наречий и раздельное написание предлога с местоимением.

«Зачем» — это обычно наречие, точнее вопросительное или относительное местоимённое наречие. Оно обозначает цель и отвечает на вопрос с какой целью? для чего?

Например:
Зачем ты пришёл?
Здесь «зачем» — вопросительное наречие.

В сложном предложении оно может быть относительным словом:
Я не понял, зачем он это сделал.
Здесь «зачем» связывает части предложения и тоже является местоимённым наречием.

«Затем» — это наречие. Оно может иметь значение потом, после этого или с этой целью.

Например:
Сначала мы пообедали, затем пошли гулять.
Здесь «затем» = «потом», это наречие времени.

Другой пример:
Он пришёл затем, чтобы поговорить.
Здесь «затем» имеет целевое значение: «для того, чтобы поговорить».

«Поэтому» — это наречие, чаще его называют местоимённым наречием. Оно указывает на причину или следствие и отвечает по смыслу на вопрос по какой причине? вследствие чего?

Например:
Было холодно, поэтому мы вернулись домой.
Здесь «поэтому» указывает на следствие: вернулись домой из-за холода.

Слова «от того» и «от чего» пишутся раздельно, когда это предлог “от” + местоимение.

«От того» — это сочетание предлога и указательного местоимения “тот” в форме родительного падежа: от того.

Например:
От того дома до школы недалеко.
Здесь «от» — предлог, «того» — местоимение, относящееся к слову «дома».

Также:
Многое зависит от того, как ты поступишь.
Здесь «от того» тоже состоит из предлога и местоимения, а дальше идёт придаточная часть.

Но нужно отличать «оттого» от «от того».
«Оттого» слитно — это наречие со значением причины, близкое к «поэтому», «по этой причине».

Например:
Он устал, оттого и молчал.
Здесь «оттого» = «поэтому».

А в предложении:
От того человека я ничего не ждал — раздельно, потому что есть местоимение «того», относящееся к существительному «человека».

«От чего» — это сочетание предлога “от” + вопросительного или относительного местоимения “что” в форме родительного падежа.

Например:
От чего зависит успех?
Здесь «от» — предлог, «чего» — местоимение.

В сложном предложении:
Я не знаю, от чего он отказался.
Здесь «от чего» также предлог с местоимением.

Но есть и слово «отчего» слитно. Оно является наречием, обычно вопросительным или относительным, и означает почему? по какой причине?

Например:
Отчего ты грустишь?
То есть: почему ты грустишь?

Сравним:
От чего ты отказался? — от какого предмета, предложения, дела? Здесь раздельно: предлог + местоимение.
Отчего ты отказался? — по какой причине отказался? Здесь слитно: наречие.

Итак, кратко:

зачем — местоимённое наречие, вопросительное или относительное;
затем — местоимённое наречие;
поэтому — местоимённое наречие;
от того — предлог от + местоимение того;
от чего — предлог от + местоимение чего.

При этом слитные варианты «оттого» и «отчего» уже являются наречиями, а раздельные «от того» и «от чего» — сочетаниями предлога с местоимением.