Мне, мной, их, они — это какие местоимения?

Мне, мной, их, они — это личные местоимения, но в разных формах.

Разберём каждое:

1. Мне — личное местоимение 1-го лица единственного числа.
Начальная форма: я.
Падеж: дательный.
Пример: Мне подарили книгу.
Вопрос: кому? — мне.

2. Мной — личное местоимение 1-го лица единственного числа.
Начальная форма: я.
Падеж: творительный.
Пример: Работа выполнена мной.
Вопрос: кем? — мной.

3. Их — личное местоимение 3-го лица множественного числа.
Начальная форма: они.
Падеж может быть родительный или винительный, в зависимости от предложения.
Примеры:
Я не видел их. — винительный падеж: кого?
У их дома стояла машина — в разговорной речи так иногда говорят, но литературно лучше: у их дома в значении притяжательности или чаще у их дома / возле их дома; слово их также может выступать как притяжательное местоимение в значении «принадлежащий им»: их книги, их дом.

4. Они — личное местоимение 3-го лица множественного числа.
Падеж: именительный.
Пример: Они пришли вовремя.
Вопрос: кто? — они.

Итак, в школьной грамматике основной ответ такой: мне, мной, их, они — это личные местоимения.
Мне и мной — формы местоимения я, а их и они — формы местоимения они.