Нужна ли здесь запятая? Если да,то где? После встречи Дубровского с сыном его здоровье ухудшается и он умирает.

Да, запятая нужна после слова сыном:

После встречи Дубровского с сыном, его здоровье ухудшается, и он умирает.

Но здесь есть важный нюанс. Запятая после обстоятельства «после встречи Дубровского с сыном» не является строго обязательной по правилу, потому что это обычное обстоятельство времени, выраженное существительным с предлогом. Однако в данном предложении оно довольно распространённое и стоит в начале фразы, поэтому запятая возможна для интонационного отделения.

Запятая перед и тоже нужна, потому что соединяются две грамматические основы:

здоровье ухудшается и он умирает.

Правильнее всего оформить так:

После встречи Дубровского с сыном, его здоровье ухудшается, и он умирает.