Разобрать как части речи на дерево за белкой

«На дерево за белкой» — это словосочетание, а не полное предложение. Разберём каждое слово как часть речи.

На — предлог.
Служебная часть речи, не изменяется. В данном словосочетании употребляется с существительным дерево и указывает направление движения: куда? на дерево.

Дерево — имя существительное.
Начальная форма: дерево.
Нарицательное, неодушевлённое, средний род, 2-е склонение.
В словосочетании стоит в винительном падеже, единственном числе: на что? на дерево.

За — предлог.
Служебная часть речи, не изменяется. В данном случае употребляется с существительным белкой и указывает цель или направление действия: за кем? за белкой.

Белкой — имя существительное.
Начальная форма: белка.
Нарицательное, одушевлённое, женский род, 1-е склонение.
В словосочетании стоит в творительном падеже, единственном числе: за кем? за белкой.

Итоговый разбор:

на — предлог;
дерево — существительное, ср. род, ед. число, винительный падеж;
за — предлог;
белкой — существительное, ж. род, ед. число, творительный падеж.