Составить предложение и образовать деепричастный оборот со словами быстрый и внимательно

Слово быстрый — это прилагательное. От него можно образовать наречие быстро.
Слово внимательно уже является наречием. Деепричастный оборот нужно строить с деепричастием, например: читая, слушая, выполняя, осмотрев.

Пример предложения с деепричастным оборотом:

Быстро пробежав по коридору, мальчик внимательно прочитал объявление.

Деепричастный оборот здесь: быстро пробежав по коридору.
Слово быстро образовано от слова быстрый, а слово внимательно употреблено в основной части предложения.

Еще один вариант:

Внимательно осмотрев комнату, быстрый мальчик заметил пропавшую книгу.

Деепричастный оборот: внимательно осмотрев комнату.