Как правильно писать словосочетания: «развевается флаг», «развивается ребёнок»?

Правильно писать так: развевается флаг и развивается ребёнок.

Это разные глаголы, хотя звучат похоже.

Развевается — от глагола развеваться. Он употребляется, когда что-то колышется, реет, движется от ветра. Поэтому пишем:

Флаг развевается на ветру.
Знамя развевается над зданием.
Волосы развеваются от ветра.

Здесь легко проверить смыслом: флаг не «становится развитым», а реет, колышется.

Развивается — от глагола развиваться. Он означает «расти, совершенствоваться, переходить на новую ступень». Поэтому пишем:

Ребёнок развивается.
Страна развивается.
Сюжет развивается постепенно.
Бизнес развивается успешно.

То есть ребёнок не «развевается на ветру», а растёт, меняется, приобретает новые умения.

Главное различие такое:

развевается — от ветра, движения, колыхания;
развивается — от роста, прогресса, изменения.

Поэтому нормативные варианты: флаг развевается, ребёнок развивается.