Какой частью речи является слово «слышны»?

Слово «слышны» является кратким прилагательным.

Начальная форма — слышный: слышный голос, слышная музыка, слышные звуки. В форме «слышны» это прилагательное стоит во множественном числе и является краткой формой: звуки слышны, голоса слышны, шаги слышны.

В предложении слово «слышны» обычно выполняет роль сказуемого или части составного именного сказуемого:

Из комнаты слышны голоса.

Здесь голоса — подлежащее, а слышны — сказуемое. Можно задать вопрос: голоса каковы? — слышны.

Важно не путать это слово с глаголом. Хотя по смыслу оно связано с восприятием на слух, грамматически «слышны» не обозначает действие предмета, а выражает признак: голоса находятся в таком состоянии, что их можно услышать.

Итак: «слышны» — краткое прилагательное, множественное число, форма от полного прилагательного «слышный».