«Старик смотрел на молодёжь и думал, у них будет счастливая жизнь». Правильно ли расставлены знаки препинания?

Нет, знаки препинания расставлены неправильно.

Правильно так:

Старик смотрел на молодёжь и думал: «У них будет счастливая жизнь».

Здесь слова «у них будет счастливая жизнь» передают содержание мысли старика, то есть это прямая речь, только внутренняя. После слова «думал» нужно поставить двоеточие, а саму мысль оформить в кавычках.

Возможен и вариант без прямой речи:

Старик смотрел на молодёжь и думал, что у них будет счастливая жизнь.

А исходный вариант с запятой после «думал» неверен, потому что вторая часть предложения не присоединяется просто запятой: нужно либо оформить прямую речь, либо ввести придаточное предложение с союзом что.