«Я нарочно велел провести мимо её окон мою черкесскую лошадь». В этом предложении слово «мимо» является наречием или производным? На какой вопрос это слово отвечает (где? или как?)

В этом предложении «мимо» — производный предлог, точнее производный предлог пространственного значения:

Я нарочно велел провести мимо её окон мою черкесскую лошадь.

Почему это предлог? Потому что слово «мимо» употреблено с зависимым существительным в родительном падеже:

мимо чего? — мимо её окон.

Если бы было просто:

Он прошёл мимо.

тогда «мимо» было бы наречием, потому что оно употреблено самостоятельно и не управляет существительным.

А в выражении «мимо её окон» слово «мимо» связывает глагол «провести» с существительным «окон», поэтому это уже предлог.

На вопрос «как?» оно здесь не отвечает. Вопрос «как провели?» не подходит по смыслу: речь не о способе действия, а о направлении/месте движения.

Всё сочетание «мимо её окон» отвечает скорее на вопрос:

провели где? / по какому месту? / мимо чего?

В школьном разборе это обычно считают обстоятельством места:

велел провести где? — мимо её окон.

Итак: «мимо» здесь не наречие, а производный предлог; всё сочетание отвечает на вопрос “где?” или “мимо чего?”, но не “как?”.