Объясните знаки препинания.
Тут жила родственница их, дряблая старушонка, все ещё ходившая всякое утро на рынок и сушившая потом чулки свои у самовара, которая потрепала мальчика по щеке и полюбовалась его полнотою. Тут должен был он остаться и ходить ежедневно в классы городского училища. Отец, переночевавши, на другой же день выбрался в дорогу. При расставании слёз не было пролито из родительских глаз; дана была полтина меди на расход и лакомства и, что гораздо важнее, умное наставление: «Смотри же, Павлуша, учись, не дури и не повесничай, а больше всего угождай учителям и начальникам. Коли будешь угождать начальнику, то, хоть и в науке не успеешь и таланту Бог не дал, всё пойдёшь в ход и всех опередишь».

Объяснение знаков препинания:

Тут жила родственница их, дряблая старушонка, всё ещё ходившая всякое утро на рынок и сушившая потом чулки свои у самовара, которая потрепала мальчика по щеке и полюбовалась его полнотой.

• Запятые после слов «их» и «старушонка» выделяют распространённое согласованное определение «дряблая старушонка», которое имеет добавочное пояснительное значение. Оно объясняет, кто именно был родственницей.

• Запятые перед и после слов «всё ещё ходившая всякое утро на рынок и сушившая потом чулки свои у самовара» выделяют причастный оборот, стоящий после определяемого слова «старушонка». Однородные причастия «ходившая» и «сушившая» соединены одиночным союзом и, поэтому запятая между ними не ставится.

• Запятая перед словом «которая» отделяет придаточное определительное предложение. Оно относится к слову «старушонка» и объясняет, что она сделала: «потрепала мальчика по щеке и полюбовалась его полнотой».

• Точка ставится в конце повествовательного предложения.

Тут должен был он остаться и ходить ежедневно в классы городского училища.

• Союз «и» соединяет два однородных сказуемых: «остаться» и «ходить». Запятая между ними не ставится, так как они относятся к одному подлежащему «он» и соединены одиночным союзом и.

• Точка завершает повествовательное предложение.

Отец, переночевавши, на другой же день выбрался в дорогу.

• Запятые после слов «отец» и «переночевавши» выделяют деепричастный оборот «переночевавши», который обозначает дополнительное действие, совершённое отцом.

• Слова «на другой же день» являются обстоятельством времени и не требуют выделения запятыми.

• Точка ставится в конце предложения.

При расставании слёз не было пролито из родительских глаз; дана была полтина меди на расход и лакомства и, что гораздо важнее, умное наставление: «Смотри же, Павлуша, учись, не дури и не повесничай, а больше всего угождай учителям и начальникам.

• Точка с запятой между частями предложения разделяет два самостоятельных, но связанных по смыслу предложения: сначала говорится об отсутствии слёз при расставании, затем — о том, что было дано мальчику.

• Запятая после слова «и» перед «что гораздо важнее» открывает вставную конструкцию. Слова «что гораздо важнее» являются вводным замечанием автора, поэтому выделяются с двух сторон запятыми.

• Двоеточие перед прямой речью ставится потому, что далее раскрывается содержание «умного наставления».

• Кавычки обозначают прямую речь — слова отца.

• Запятые в обращении «Павлуша» выделяют обращение к мальчику.

• Запятые между «учись», «не дури» и «не повесничай» разделяют однородные сказуемые, перечисленные без союзов.

• Запятая перед союзом «а» разделяет противопоставленные части: «не дури и не повесничай» — «а больше всего угождай учителям и начальникам».

• Точка после слова «начальникам» завершает первую часть прямой речи.

Коли будешь угождать начальнику, то, хоть и в науке не успеешь и таланту Бог не дал, всё пойдёшь в ход и всех опередишь».

• Запятая после слова «начальнику» отделяет придаточное условное предложение с союзом «коли» от главного предложения.

• Запятые после «то» и перед «всё» выделяют вставное уступительное придаточное предложение «хоть и в науке не успеешь и таланту Бог не дал».

• Союз «и» в сочетании «не успеешь и таланту Бог не дал» соединяет однородные части внутри придаточного, поэтому запятая между ними не ставится.

• Союз «и» между словами «пойдёшь в ход» и «всех опередишь» соединяет однородные сказуемые, поэтому запятая перед ним не ставится.

• Кавычки закрывают прямую речь отца.

• Точка ставится после окончания всего предложения.

Таким образом, в тексте используются запятые для выделения причастных и деепричастных оборотов, обращений, вводных слов и придаточных предложений; двоеточие вводит прямую речь, точка с запятой разделяет крупные части сложного предложения, а кавычки показывают слова, сказанные героем.