Как правильно написать "будте здоровы" или "будьте здоровы"?

Правильный вариант — "будьте здоровы".

Это форма повелительного наклонения глагола "быть" во множественном числе или вежливой форме обращения к одному человеку. В русском языке повелительное наклонение от глагола "быть" во втором лице множественного числа образуется с окончанием "-ьте", поэтому пишется "будьте" через "ь".

Ошибка в варианте "будте" часто встречается из-за того, что звук "т" произносится чётко и твёрдо, и мягкий знак может казаться лишним. Однако по правилам орфографии он необходим — мягкий знак в повелительном наклонении перед суффиксом -те обязателен, если основа глагола заканчивается на мягкий согласный или шипящий.

Фраза "будьте здоровы" — это устойчивое выражение, которое обычно употребляют при чихании или в качестве пожелания здоровья.