Как называются места разработки полезных ископаемых: породами, месторождениями, оврагами, карьерами?

Правильный вариант — карьерами.

Поясню. «Месторождения» — это места природного залегания полезных ископаемых, но не сами объекты разработки. «Породы» — это материалы (горные породы). «Овраги» — форма рельефа, к добыче не относится. А вот «карьеры» — это специально созданные выработки, где ведут открытые горные работы по добыче полезных ископаемых. Для полноты: при подземной добыче используют шахты и рудники, но среди предложенных вариантов подходит именно «карьеры».