3.Постройте график квадратичной
функции у = х2 + 4х + 2
и опишите её свойства

Для построения графика квадратичной функции $y = x^2 + 4x + 2$, а также описания её свойств, давайте разберёмся с каждым шагом:

1. Общий вид квадратичной функции:

Функция $y = x^2 + 4x + 2$ является квадратичной, то есть её уравнение имеет вид $y = ax^2 + bx + c$, где:

• $a = 1$ (коэффициент при $x^2$),
• $b = 4$ (коэффициент при $x$),
• $c = 2$ (свободный член).

Коэффициент $a$ определяет направление ветвей параболы. В данном случае $a > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх.

2. Построение графика:

Для построения графика функции можно воспользоваться методом выделения квадрата или найти координаты вершины параболы и несколько дополнительных точек.

Выделение полного квадрата:

Приведём функцию к виду $y = (x + 2)^2 - 2$:

1. Функция: $y = x^2 + 4x + 2$.
2. Выделим полный квадрат: $y = (x^2 + 4x + 4) - 4 + 2 = (x + 2)^2 - 2$.

Теперь функция имеет вид $y = (x + 2)^2 - 2$, что позволяет легко найти координаты вершины параболы.

Координаты вершины параболы:

• Вершина параболы находится в точке $(x_0, y_0)$, где $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = y(x_0)$.
• Подставим значения: $x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.
• Найдём $y_0$: $y(-2) = (-2 + 2)^2 - 2 = 0 - 2 = -2$.

Таким образом, вершина параболы имеет координаты $(-2, -2)$.

Дополнительные точки:

Для более точного построения графика найдем значения функции в нескольких точках:

• При $x = -3$, $y = (-3)^2 + 4(-3) + 2 = 9 - 12 + 2 = -1$.
• При $x = -1$, $y = (-1)^2 + 4(-1) + 2 = 1 - 4 + 2 = -1$.
• При $x = 0$, $y = 0^2 + 4 \cdot 0 + 2 = 2$.

Эти точки вместе с вершиной $(-2, -2)$ помогут построить график параболы.

3. Свойства функции:

Опишем основные свойства функции $y = x^2 + 4x + 2$:

1. Область определения: Функция определена для всех значений $x$, так как это многочлен. Область определения: $x \in (-\infty, +\infty)$.

2. Область значений: Так как вершина параболы находится в точке $(-2, -2)$, а ветви направлены вверх, то функция принимает значения от $-2$ до $+\infty$. Область значений: $y \geq -2$.

3. Вершина параболы: Вершина параболы находится в точке $(-2, -2)$, что является минимальной точкой графика.

4. Ось симметрии: Ось симметрии параболы проходит через вершину и имеет уравнение $x = -2$.

5. Порядок возрастания и убывания:

   • Функция убывает на интервале $x < -2$.
   • Функция возрастает на интервале $x > -2$.

6. Пересечение с осями координат:

   • Пересечение с осью $y$: при $x = 0$, $y = 2$, то есть график пересекает ось $y$ в точке $(0, 2)$.
   • Пересечение с осью $x$: для нахождения точек пересечения с осью $x$ решим уравнение $x^2 + 4x + 2 = 0$ с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8.$$