Найдите все первообразные функции f(x)=2sin^4x.

Нужно найти все функции \( F(x) \), производная которых равна \( f(x)=2\sin^4 x \).

Используем формулу понижения степени:

\[\sin^4 x=\frac{3-4\cos 2x+\cos 4x}{8}\]

Тогда:

\[2\sin^4 x=\frac{3-4\cos 2x+\cos 4x}{4}=\frac{3}{4}-\cos 2x+\frac{1}{4}\cos 4x\]

Интегрируем по частям выражения:

\[F(x)=\frac{3x}{4}-\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{16}\sin 4x+C\]

Ответ: \[F(x)=\frac{3x}{4}-\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{16}\sin 4x+C,\quad C\in \mathbb{R}\]

0 0 Пожаловаться