Какие остатки могут получиться при делении квадрата натурального числа на 9?

Рассмотрим остатки квадратов натуральных чисел при делении на 9. Достаточно проверить все возможные остатки самого числа при делении на 9, то есть числа от 0 до 8, так как любое натуральное число сравнимо с одним из них по модулю 9.

Возведём их в квадрат и найдём остатки:

• 0² = 0 → остаток 0

• 1² = 1 → остаток 1

• 2² = 4 → остаток 4

• 3² = 9 → остаток 0

• 4² = 16 → остаток 7

• 5² = 25 → остаток 7

• 6² = 36 → остаток 0

• 7² = 49 → остаток 4

• 8² = 64 → остаток 1

Таким образом, возможные различные остатки при делении квадрата натурального числа на 9 — это:

0, 1, 4, 7

Других остатков получить невозможно.