Как решать задания типаНайти числа а и b, если из­вест­но, что НОK(a, b) = 105, a·b = 525.

Найти числа а и b, если из­вест­но, что НОД(a, b) = 7, a·b = 294.

Найти числа а и b, если из­вест­но, что НОД(a, b) = 5, a:b = 13:8.

Найти числа а и b, если из­вест­но, что НОK(a, b) = 224, a:b = 7:8.

Найти числа a и b, если из­вест­но, что НОД(a, b) = 3, НОK(a; b) = 915.

Главная формула для таких задач:

\[ a \cdot b = \text{НОД}(a,b) \cdot \text{НОК}(a,b) \]

1) \( \text{НОК}(a,b)=105 \), \( a \cdot b=525 \).

\[ \text{НОД}(a,b)=\frac{525}{105}=5 \]

Пусть \( a=5x \), \( b=5y \), тогда \( x \) и \( y \) взаимно простые, а \( xy=21 \). Подходят \( 1 \) и \( 21 \), \( 3 \) и \( 7 \).

Ответ: \( 5 \) и \( 105 \) или \( 15 \) и \( 35 \).

2) \( \text{НОД}(a,b)=7 \), \( a \cdot b=294 \).

Пусть \( a=7x \), \( b=7y \). Тогда:

\[ 49xy=294 \]

\[ xy=6 \]

\( x \) и \( y \) взаимно простые. Подходят \( 1 \) и \( 6 \), \( 2 \) и \( 3 \).

Ответ: \( 7 \) и \( 42 \) или \( 14 \) и \( 21 \).

3) \( \text{НОД}(a,b)=5 \), \( a:b=13:8 \).

Значит \( a=13k \), \( b=8k \). Так как \( 13 \) и \( 8 \) взаимно простые, их общий множитель равен \( k \). Значит \( k=5 \).

Ответ: \( a=65 \), \( b=40 \).

4) \( \text{НОК}(a,b)=224 \), \( a:b=7:8 \).

Пусть \( a=7k \), \( b=8k \). Так как \( 7 \) и \( 8 \) взаимно простые:

\[ \text{НОК}(7k,8k)=56k \]

\[ 56k=224 \]

\[ k=4 \]

Ответ: \( a=28 \), \( b=32 \).

5) \( \text{НОД}(a,b)=3 \), \( \text{НОК}(a,b)=915 \).

Тогда:

\[ a \cdot b = 3 \cdot 915 = 2745 \]

Пусть \( a=3x \), \( b=3y \), где \( x \) и \( y \) взаимно простые. Тогда:

\[ 9xy=2745 \]

\[ xy=305 \]

\[ 305=5 \cdot 61 \]

Подходят пары \( x,y \): \( 1 \) и \( 305 \), \( 5 \) и \( 61 \).

Ответ: \( 3 \) и \( 915 \) или \( 15 \) и \( 183 \).

0 0 Пожаловаться