При розыгрыше первенства школы по футболу было сыграно 36 матчей, причём каждая команда сыграла с каждой по одному разу. Сколько команд участвовало в розыгрыше?

Пусть в розыгрыше участвовало n команд.

Так как каждая команда сыграла с каждой по одному разу, то количество матчей можно найти по формуле:

Почему именно так: каждая команда может сыграть с остальными $n-1$ командами, но при таком подсчёте каждый матч считается дважды (например, игра А с Б и игра Б с А), поэтому делим на 2.

Получаем:

Разложим квадратный трёхчлен:

Подходит только положительное значение:

Значит, в первенстве школы участвовало 9 команд.

Проверка:

Получается 36 матчей, значит ответ верный.