Решите уравнение 2sin2x+cosx+4sinx+1=0. Надо указать корни, принадлежащие отрезку [5П/2, 7П/2].

Ответы должны быть такими:

а) -arcsin1/4 +2Пk; П+arcsin1/4+2Пk; П+2Пk

б) 3П, 3П+arcsin1/4

Преобразуем уравнение:

\[2\sin 2x+\cos x+4\sin x+1=0\]

Так как \(\sin 2x=2\sin x\cos x\), получаем:

\[4\sin x\cos x+\cos x+4\sin x+1=0\]

\[(4\sin x+1)(\cos x+1)=0\]

Отсюда:

\[\sin x=-\frac14\quad \text{или}\quad \cos x=-1\]

Общие решения:

\[x=-\arcsin\frac14+2\pi k;\quad x=\pi+\arcsin\frac14+2\pi k;\quad x=\pi+2\pi k\]

На отрезке \(\left[\frac{5\pi}{2};\frac{7\pi}{2}\right]\) лежат корни:

\[x=3\pi;\quad x=3\pi+\arcsin\frac14\]

Ответ: б) \(3\pi,\;3\pi+\arcsin\frac14\).

0 0 Пожаловаться