а) Решите уравнение 2cos(π/2 - x) = tgx
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-2π; -π/2]

Найдите значение выражения log (ab^4) по основанию a, если log b по основанию а =2?

а) Решите уравнение 2cos(π/2 + x) = корень из 3 tgx
tgx не под корнем.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-3π; -3π/2]

1) Уравнение \(2\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\tg x\)

Так как \(\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x\), получаем:

\[2\sin x=\tg x\]

\[2\sin x=\frac{\sin x}{\cos x}\]

При \(\cos x\ne 0\):

\[2\sin x\cos x=\sin x\]

\[\sin x(2\cos x-1)=0\]

Отсюда:

\[\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac12\]

Общее решение:

\[x=\pi k\]

или

\[x=2\pi k\pm \frac{\pi}{3},\quad k\in\mathbb Z\]

На промежутке \([-2\pi;-\frac{\pi}{2}]\) подходят:

\[x=-2\pi,\quad x=-\frac{5\pi}{3},\quad x=-\pi\]

2) Логарифм

Дано:

\[\log_a b=2\]

Найти:

\[\log_a(ab^4)\]

Используем свойства логарифмов:

\[\log_a(ab^4)=\log_a a+\log_a b^4\]

\[=1+4\log_a b=1+4\cdot 2=9\]

Ответ: \(9\).

3) Уравнение \(2\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\sqrt3\tg x\)

Так как \(\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x\), получаем:

\[-2\sin x=\sqrt3\tg x\]

\[-2\sin x=\sqrt3\cdot \frac{\sin x}{\cos x}\]

При \(\cos x\ne 0\):

\[-2\sin x\cos x=\sqrt3\sin x\]

\[\sin x(-2\cos x-\sqrt3)=0\]

Отсюда:

\[\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=-\frac{\sqrt3}{2}\]

Общее решение:

\[x=\pi k\]

или

\[x=2\pi k\pm \frac{5\pi}{6},\quad k\in\mathbb Z\]

На промежутке \([-3\pi;-\frac{3\pi}{2}]\) подходят:

\[x=-3\pi,\quad x=-\frac{17\pi}{6},\quad x=-2\pi\]

0 0 Пожаловаться