Решите уравнение:(Тригонометрические ур-я,неравенства,системы)
а)2sinx=корень из 3;                    а)корень из 2cosx=1;
б)sinx- корень из 3cosx=0;           б)sinx + cosx=0;
в)2sin в квадрате x + 3cosx =0;    в)2 cos в квадрате x- sinx= -1;
г)sin 3x+sinx /: на сosx= 0;           г)cos3x-cosx/:sinx=0

Пусть \(k \in \mathbb Z\), то есть \(k\) — любое целое число.

1) \(2\sin x=\sqrt3\)

\(\sin x=\frac{\sqrt3}{2}\), поэтому
\(x=\frac{\pi}{3}+2\pi k\) или \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\).

2) \(\sqrt2\cos x=1\)

\(\cos x=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}\), поэтому
\(x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi k\).

3) \(\sin x-\sqrt3\cos x=0\)

\(\sin x=\sqrt3\cos x\), значит \(\tg x=\sqrt3\).
Ответ: \(x=\frac{\pi}{3}+\pi k\).

4) \(\sin x+\cos x=0\)

\(\sin x=-\cos x\), значит \(\tg x=-1\).
Ответ: \(x=-\frac{\pi}{4}+\pi k\).

5) \(2\sin^2 x+3\cos x=0\)

Заменим \(\sin^2 x\) на \(1-\cos^2 x\):
\(2(1-\cos^2 x)+3\cos x=0\).
Получаем \(2\cos^2 x-3\cos x-2=0\).
\(\cos x=2\) не подходит, а \(\cos x=-\frac12\) подходит.

Ответ: \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\) или \(x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k\).

6) \(2\cos^2 x-\sin x=-1\)

Перенесём всё в одну сторону:
\(2\cos^2 x-\sin x+1=0\).
Так как \(\cos^2 x=1-\sin^2 x\), получаем:
\(2(1-\sin^2 x)-\sin x+1=0\),
\(2\sin^2 x+\sin x-3=0\).

\(\sin x=1\) подходит, \(\sin x=-\frac32\) не подходит.
Ответ: \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi k\).

7) \(\frac{\sin 3x+\sin x}{\cos x}=0\)

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: \(\cos x\ne0\).

\(\sin3x+\sin x=2\sin2x\cos x\).
Так как \(\cos x\ne0\), остаётся \(\sin2x=0\).
Ответ: \(x=\frac{\pi k}{2}\), но \(x\ne\frac{\pi}{2}+\pi k\). Значит можно записать проще: \(x=\pi k\).

8) \(\frac{\cos3x-\cos x}{\sin x}=0\)

Нужно: \(\cos3x-\cos x=0\), при этом \(\sin x\ne0\).

\(\cos3x-\cos x=-2\sin2x\sin x\).
Так как \(\sin x\ne0\), остаётся \(\sin2x=0\).
Получаем \(x=\frac{\pi k}{2}\), но \(x\ne\pi k\). Значит ответ: \(x=\frac{\pi}{2}+\pi k\).

0 0 Пожаловаться