Для кодирования 300 различных сообщений используются 5 последовательных цветовых вспышек. Вспышки одинаковой длительности, для каждой вспышки используется одна лампочка определённого цвета. Лампочки скольких цветов должны использоваться при передаче (укажите минимально возможное количество)?

Чтобы закодировать сообщения, используется 5 последовательных вспышек, и каждая вспышка выбирает один цвет из некоторого набора лампочек. Пусть доступно k цветов.

Тогда:

• на первую вспышку есть k вариантов (любой цвет),

• на вторую — снова k вариантов,

• …

• на пятую — тоже k вариантов.

Поскольку вспышек 5, а выбор цвета на каждой независим, общее число разных цветовых последовательностей равно:

Нужно, чтобы этих последовательностей хватило минимум на 300 различных сообщений, то есть:

Теперь подберём минимальное целое $k$:

• $3^5 = 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 243$ — мало, не хватает до 300.

• $4^5 = 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4 = 1024$ — хватает, больше 300.

Значит, минимально возможное число цветов лампочек:

4.