Решите уравнение 121ₓ + 1 = 101₈. Ответ запишите в десятичной системе.

Ответы на вопрос

Отвечает Филонов Илья.

Давайте разберёмся с этим уравнением шаг за шагом. У нас есть:

121_x + 1 = 101_8

где $121_x$ — это число в системе с основанием $x$ , а $101_8$ — в восьмеричной системе. Нам нужно найти $x$ и ответ дать в десятичной системе.

Восьмеричное число $101_8$ раскладывается так:

101_8 = 1 \cdot 8^2 + 0 \cdot 8^1 + 1 \cdot 8^0

Вычисляем:

1 \cdot 64 + 0 \cdot 8 + 1 \cdot 1 = 64 + 0 + 1 = 65

Итак:

101_8 = 65_{10}

121_x + 1 = 65

Сначала переведём $121_x$ в десятичную систему:

121_x = 1 \cdot x^2 + 2 \cdot x^1 + 1 \cdot x^0 = x^2 + 2x + 1

Теперь уравнение становится:

x^2 + 2x + 1 + 1 = 65

x^2 + 2x + 2 = 65

x^2 + 2x - 63 = 0

Квадратное уравнение:

x^2 + 2x - 63 = 0

Используем формулу корней:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Здесь $a = 1$ , $b = 2$ , $c = -63$ :

x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 252}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{256}}{2}

\sqrt{256} = 16

x = \frac{-2 \pm 16}{2}

Два варианта:

Отрицательное основание системы счисления не подходит, поэтому:

x = 7

121_7 = 1 \cdot 7^2 + 2 \cdot 7 + 1 = 49 + 14 + 1 = 64

Добавляем 1:

64 + 1 = 65

Ответы на вопрос