1. Выполнить сложение чисел в двоичной системе счисления (сделать проверку в десятичной системе счисления): а) 10101 + 1111; б) 1100101 + 101011. 2. Выполните умножение чисел в двоичной системе счисления (сделать проверку в десятичной системе счисления): а) 1101 × 11; б) 10101 × 111.

1. Сложение чисел в двоичной системе счисления

При сложении в двоичной системе используются правила:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10, то есть 0 пишем, 1 переносим в следующий разряд.

а) 10101 + 1111

Выровняем числа по правому краю:

  10101
+ 01111
-------
 100100

Рассмотрим сложение по разрядам справа налево:

      1 0 1 0 1
+     0 1 1 1 1
---------------
    1 0 0 1 0 0

Получаем:

10101₂ + 1111₂ = 100100₂

Теперь сделаем проверку в десятичной системе.

Переведём первое число:

10101₂ = 1·2⁴ + 0·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰
       = 16 + 0 + 4 + 0 + 1
       = 21₁₀

Переведём второе число:

1111₂ = 1·2³ + 1·2² + 1·2¹ + 1·2⁰
      = 8 + 4 + 2 + 1
      = 15₁₀

Сложим в десятичной системе:

21 + 15 = 36

Проверим результат:

100100₂ = 1·2⁵ + 0·2⁴ + 0·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 0·2⁰
        = 32 + 0 + 0 + 4 + 0 + 0
        = 36₁₀

Значит:

10101₂ + 1111₂ = 100100₂

б) 1100101 + 101011

Выровняем числа по правому краю:

  1100101
+ 0101011
---------
 10010000

Получаем:

1100101₂ + 101011₂ = 10010000₂

Проверка в десятичной системе.

Переведём первое число:

1100101₂ = 1·2⁶ + 1·2⁵ + 0·2⁴ + 0·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰
         = 64 + 32 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1
         = 101₁₀

Переведём второе число:

101011₂ = 1·2⁵ + 0·2⁴ + 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 1·2⁰
        = 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1
        = 43₁₀

Сложим:

101 + 43 = 144

Проверим результат:

10010000₂ = 1·2⁷ + 0·2⁶ + 0·2⁵ + 1·2⁴ + 0·2³ + 0·2² + 0·2¹ + 0·2⁰
          = 128 + 0 + 0 + 16 + 0 + 0 + 0 + 0
          = 144₁₀

Значит:

1100101₂ + 101011₂ = 10010000₂

2. Умножение чисел в двоичной системе счисления

При умножении в двоичной системе используются правила:

0 × 0 = 0
0 × 1 = 0
1 × 0 = 0
1 × 1 = 1

Умножение выполняется почти так же, как в десятичной системе, только используются двоичные числа.

а) 1101 × 11

Выполним умножение столбиком:

    1101
×     11
--------
    1101
+  1101
--------
   100111

Значит:

1101₂ × 11₂ = 100111₂

Проверка в десятичной системе.

Переведём первое число:

1101₂ = 1·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰
      = 8 + 4 + 0 + 1
      = 13₁₀

Переведём второе число:

11₂ = 1·2¹ + 1·2⁰
    = 2 + 1
    = 3₁₀

Умножим:

13 × 3 = 39

Проверим результат:

100111₂ = 1·2⁵ + 0·2⁴ + 0·2³ + 1·2² + 1·2¹ + 1·2⁰
        = 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 1
        = 39₁₀

Значит:

1101₂ × 11₂ = 100111₂

б) 10101 × 111

Выполним умножение столбиком:

      10101
×       111
-----------
      10101
+    10101
+   10101
-----------
    10010011

Можно записать подробнее с учётом сдвигов:

        10101
×         111
-------------
        10101
       10101
+     10101
-------------
      10010011

Значит:

10101₂ × 111₂ = 10010011₂

Проверка в десятичной системе.

Переведём первое число:

10101₂ = 1·2⁴ + 0·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰
       = 16 + 0 + 4 + 0 + 1
       = 21₁₀

Переведём второе число:

111₂ = 1·2² + 1·2¹ + 1·2⁰
     = 4 + 2 + 1
     = 7₁₀

Умножим:

21 × 7 = 147

Проверим результат:

10010011₂ = 1·2⁷ + 0·2⁶ + 0·2⁵ + 1·2⁴ + 0·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 1·2⁰
          = 128 + 0 + 0 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1
          = 147₁₀

Значит:

10101₂ × 111₂ = 10010011₂

Итоговые ответы:

1а) 10101₂ + 1111₂ = 100100₂
1б) 1100101₂ + 101011₂ = 10010000₂

2а) 1101₂ × 11₂ = 100111₂
2б) 10101₂ × 111₂ = 10010011₂