1. Составьте таблицу истинности для логического выражения ¬(¬A & ¬B) & ¬(¬A & ¬B). 2. Преобразуйте логическое выражение, используя законы алгебры логики.

Дано логическое выражение:

¬(¬A & ¬B) & ¬(¬A & ¬B)

Обозначения:

¬ — отрицание, НЕ
& — конъюнкция, И
∨ — дизъюнкция, ИЛИ

1. Таблица истинности

Выражение:

¬(¬A & ¬B) & ¬(¬A & ¬B)

Заметим, что обе части выражения одинаковые:

¬(¬A & ¬B)

Но для таблицы истинности рассмотрим всё выражение полностью.

Итоговый столбец показывает значения всего выражения:

Это означает, что выражение истинно во всех случаях, кроме случая, когда A = 0 и B = 0.

2. Преобразование выражения по законам алгебры логики

Исходное выражение:

¬(¬A & ¬B) & ¬(¬A & ¬B)

Видно, что обе части одинаковые. Обозначим:

X = ¬(¬A & ¬B)

Тогда всё выражение можно записать так:

X & X

По закону идемпотентности:

X & X = X

Значит:

¬(¬A & ¬B) & ¬(¬A & ¬B) = ¬(¬A & ¬B)

Теперь применим закон де Моргана:

¬(¬A & ¬B) = ¬¬A ∨ ¬¬B

По закону двойного отрицания:

¬¬A = A
¬¬B = B

Следовательно:

¬¬A ∨ ¬¬B = A ∨ B

Итак, исходное выражение преобразуется так:

¬(¬A & ¬B) & ¬(¬A & ¬B)
= ¬(¬A & ¬B)
= ¬¬A ∨ ¬¬B
= A ∨ B

Ответ:

¬(¬A & ¬B) & ¬(¬A & ¬B) = A ∨ B

То есть данное выражение равносильно логическому выражению:

A ИЛИ B