В поездке пятеро друзей – Антон, Борис, Вадим, Дима и Гриша – знакомились с попутчицей. Они предложили ей отгадать их фамилии, причём каждый из них высказал одно истинное и одно ложное утверждение: Дима: «Моя фамилия Мишин, а фамилия Бориса – Хохлов». Антон: «Мишин – это моя фамилия, а фамилия Вадима – Белкин». Борис: «Вадим – Тихонов, а моя фамилия – Мишин». Вадим: «Я – Белкин, а фамилия Гриши – Чехов». Гриша: «Да, моя фамилия Чехов, а Антон – Тихонов». У кого какая фамилия? Решите задачу, составив и преобразовав логическое выражение.

Обозначим высказывания:

• $d$: «Дима — Мишин»;

• $b$: «Борис — Хохлов»;

• $a$: «Антон — Мишин»;

• $v$: «Вадим — Белкин»;

• $t$: «Вадим — Тихонов»;

• $m$: «Борис — Мишин»;

• $g$: «Гриша — Чехов»;

• $x$: «Антон — Тихонов».

У каждого ровно одно из двух высказываний истинно. Это записывается через исключающее «или» ($\oplus$):

Дополнительно учитываем, что фамилии у друзей разные: один и тот же человек не может иметь две фамилии, а одна фамилия не может принадлежать двоим.

Рассмотрим последние два условия:

Раскроем исключающее «или»:

После перемножения скобок остаются только совместимые варианты:

Следовательно, возможны лишь два случая:

1. $v=1,\ g=0,\ x=1$: Вадим — Белкин, Гриша не Чехов, Антон — Тихонов;

2. $v=0,\ g=1,\ x=0$: Вадим не Белкин, Гриша — Чехов, Антон не Тихонов.

Исключим первый случай

Пусть Вадим — Белкин и Антон — Тихонов.

Тогда Антон не может быть Мишиным, то есть $a=0$. Из условия Антона

всё верно.

Но Вадим, будучи Белкиным, не может быть Тихоновым, значит $t=0$. Из условия Бориса

следует, что Борис — Мишин.

Тогда Борис не Хохлов, то есть $b=0$. Из условия Димы

получаем: Дима — Мишин.

Получилось, что и Борис, и Дима — Мишины, что невозможно. Первый случай отпадает.

Остаётся второй случай

То есть:

• Гриша — Чехов;

• Антон не Тихонов;

• Вадим не Белкин.

Из высказывания Антона:

следует:

Значит, Антон — Мишин.

Тогда Борис уже не может быть Мишиным:

Из условия Бориса:

получаем:

Следовательно, Вадим — Тихонов.

Теперь известны три фамилии:

• Антон — Мишин;

• Вадим — Тихонов;

• Гриша — Чехов.

Остались Белкин и Хохлов для Димы и Бориса. Дима не может быть Мишиным, так как Мишин уже Антон:

Из первого условия:

следует:

Значит, Борис — Хохлов, а Дима получает оставшуюся фамилию Белкин.

Итак: