19. В детскую игрушку «Набор юного шпиона» входят два одинаковых комплекта из четырёх флажков различных цветов. Сколько различных тайных сообщений можно передать этими флажками, условившись менять выставленный флажок каждые пять минут и наблюдая за процессом 15 минут? Наблюдатель видит вынос первого флажка и две перемены флажка. При этом возможна смена флажка на флажок того же цвета.

Ответ: 64 различных тайных сообщения.

Решение:

По условию задачи имеется два одинаковых комплекта флажков, причём в каждом комплекте по 4 флажка различных цветов. Значит, всего имеется 8 флажков, но только 4 различных цвета.

Наблюдение продолжается 15 минут, а флажок меняют каждые 5 минут. Следовательно, за это время наблюдатель увидит три последовательно выставленных флажка:

• Первый флажок — в начале наблюдения (0–5 минут).

• Второй флажок — после первой смены (5–10 минут).

• Третий флажок — после второй смены (10–15 минут).

Каждая последовательность из трёх цветов представляет собой отдельное тайное сообщение.

Подсчитаем количество возможных сообщений.

1. Первый флажок можно выбрать 4 способами, поскольку имеется 4 различных цвета.

2. Второй флажок также можно выбрать 4 способами, так как разрешается заменить флажок другим флажком того же цвета.

3. Третий флажок тоже можно выбрать 4 способами. При этом ранее использованный флажок можно выставить повторно.

Таким образом, на каждом из трёх этапов имеется по 4 варианта выбора цвета.

По правилу умножения получаем:

Почему учитываются повторения цветов?

В условии специально указано, что разрешается менять флажок на флажок того же цвета. Поскольку каждый цвет представлен двумя флажками, можно даже три раза подряд показать один цвет, чередуя два одинаковых флажка.

Поэтому ограничивать количество вариантов из-за совпадения цветов не нужно.

Ответ: $\boxed{64}$ различных тайных сообщения.