Какой ставиться артикль перед UK и Washington

Коротко:

• Перед UK всегда ставится артикль the: the UK / the U.K., потому что это сокращение от the United Kingdom и названия государств с такими словами, как kingdom, states, republic, federation, обычно идут с the.
  Примеры: I’m flying to the UK next week. / She lives in the United Kingdom.

• Перед Washington артикль не ставится: Washington (и Washington, D.C.) как название города/штата употребляется без артикля.
  Примеры: I live in Washington. / They met in Washington, D.C.

И полезные нюансы по Washington:

• Если говорим не о городе, а о штате, по-английски всё равно обычно без артикля: I’m traveling to Washington State (или just Washington).
  Но в формулировке the state of Washington артикль нужен из-за слова state: He moved to the state of Washington.

• Артикль появляется, если речь о конкретном объекте/организации с названием Washington:
  the Washington Post, the Washington Monument, the Washington Metro, the Washington area.