Remember — правильный глагол? Если нет, то какая у него вторая форма?

Да, remember — правильный глагол. Его вторая форма (Past Simple) — remembered.
Третья форма (Past Participle) тоже remembered.

Орфография: просто добавляем -ed (буква r не удваивается, потому что ударение не на последнем слоге).
Произношение второй/третьей формы: /rɪˈmembəd/ (BrE) или /rɪˈmɛmbɚd/ (AmE).

Примеры: I remembered his name. / She remembered to call.