He drove a car very careful или carefully?

Правильно: He drove a car very carefully.

Здесь нужно carefully, потому что это наречие (adverb), которое описывает как он вел машину.

• careful — прилагательное (adjective), оно описывает существительное или человека:
  He is a very careful driver. — Он очень осторожный водитель.

• carefully — наречие, оно описывает действие:
  He drove a car very carefully. — Он вел машину очень осторожно.

Фраза He drove a car very careful является неправильной в стандартном английском, потому что после глагола drove нужно наречие, а не прилагательное.