В равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, высота трапеции равна 18 см. Найти площадь трапеции.

Для того чтобы найти площадь равнобедренной трапеции, необходимо использовать несколько геометрических свойств. Давайте разберемся пошагово.

1. Использование свойств трапеции. Пусть $AB$ и $CD$ — это основания трапеции, где $AB$ — большее основание, $CD$ — меньшее, а $AD$ и $BC$ — боковые стороны, которые равны между собой. Также известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны.

2. Высота трапеции. Высота $h$ трапеции равна 18 см. Высота трапеции — это расстояние между основаниями $AB$ и $CD$.

3. Связь диагоналей и оснований. В равнобедренной трапеции, если диагонали взаимно перпендикулярны, то можно использовать формулу для площади трапеции через длины её диагоналей:

   $$S = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$$

   где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей.

4. Обозначения и расчёты. Пусть длины диагоналей трапеции равны $d_1$ и $d_2$. Так как диагонали перпендикулярны, то по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного диагоналями, можно найти высоту трапеции через диагонали:

   $$h = \frac{1}{2} \times \sqrt{d_1^2 + d_2^2}$$

   Из этого выражения мы можем выразить диагонали через высоту трапеции $h$:

   $$d_1^2 + d_2^2 = 4h^2$$

   Подставим значение $h = 18$ см:

   $$d_1^2 + d_2^2 = 4 \times 18^2 = 1296$$

   Таким образом, сумма квадратов диагоналей равна 1296.

5. Площадь трапеции. Площадь можно вычислить, используя вышеуказанную формулу для площади через диагонали:

   $$S = \frac{1}{2} \times \sqrt{d_1^2 + d_2^2} \times h = \frac{1}{2} \times \sqrt{1296} \times 18$$ $$S = \frac{1}{2} \times 36 \times 18 = 324 \, \text{см}^2$$

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции равна 324 см².