Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы равна 10 см и образует с боковым ребром угол 30°. Найти площадь боковой поверхности и объём призмы.

Для того чтобы найти площадь боковой поверхности и объём правильной треугольной призмы, нужно решить несколько шагов.

1. Разберемся с геометрией и данными.

• У нас правильная треугольная призма, что значит, что её боковые грани — это равносторонние треугольники.

• Диагональ боковой грани (то есть диагональ прямоугольного треугольника, составленного боковым ребром и высотой боковой грани) равна 10 см.

• Угол между диагональю боковой грани и боковым ребром составляет 30°.

Обозначим:

• $a$ — длина бокового ребра призмы.

• $h$ — высота боковой грани.

Из условия задачи мы знаем, что угол между боковым ребром и диагональю боковой грани равен 30°. Следовательно, можем использовать тригонометрию для вычисления высоты боковой грани:

Из этого уравнения находим высоту боковой грани $h$:

Теперь зная высоту боковой грани, можно найти длину бокового ребра призмы. Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, где гипотенуза — это диагональ боковой грани (10 см), а один из катетов — это высота боковой грани (5 см):

Теперь, когда мы знаем длину бокового ребра $a$, можем перейти к расчету площади боковой поверхности и объёма.

2. Площадь боковой поверхности призмы.

Боковая поверхность правильной треугольной призмы состоит из трёх прямоугольных боковых граней. Площадь каждой боковой грани можно вычислить по формуле $S_{\text{грань}} = a \cdot h$, где $a$ — длина бокового ребра, а $h$ — высота боковой грани.

Площадь одной боковой грани:

Так как боковых граней три, то общая площадь боковой поверхности будет:

3. Объём призмы.

Объём правильной треугольной призмы можно найти по формуле:

где $S_{\text{основания}}$ — площадь основания (правильного треугольника), а $h_{\text{призмы}} = a$ — высота призмы, равная длине бокового ребра.

Площадь основания правильного треугольника можно вычислить по формуле:

Подставляем значение $a \approx 8.66 \, \text{см}$:

Теперь можно вычислить объём призмы:

Ответ:

• Площадь боковой поверхности призмы составляет примерно 129.9 см².

• Объём призмы составляет примерно 282.65 см³.