Геометрия, 7 класс. Прямоугольные треугольники. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Решение.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°, а угол A = 30°. Нужно доказать, что катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.

Пусть:

• AB — гипотенуза;

• BC — катет, лежащий против угла 30°;

• AC — второй катет.

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то:

∠A + ∠B + ∠C = 180°

30° + ∠B + 90° = 180°

∠B = 60°

Получается прямоугольный треугольник с углами 30°, 60° и 90°.

Теперь достроим этот треугольник до равностороннего. Для этого возьмем второй такой же прямоугольный треугольник и соединим их по катету BC. Получится равносторонний треугольник, у которого все углы равны 60°.

В равностороннем треугольнике все стороны равны. Его сторона будет равна двум катетам BC исходного треугольника, то есть:

AB = 2 · BC

Отсюда:

BC = AB : 2

Следовательно, катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.

Ответ: в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30°, всегда равен половине гипотенузы.