Хорда делит окружность на дуги, меры которых относятся как 5:7. Определите градусные меры вписанных углов, опирающихся на эту хорду.

Сумма дуг окружности — 360°. Пусть меньшая и большая дуги, отсекаемые хордой, относятся как $5:7$. Тогда $5x+7x=12x=360^\circ\Rightarrow x=30^\circ$.
Отсюда дуги: $5x=150^\circ$ и $7x=210^\circ$.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Есть две «семьи» углов с вершиной на разных сторонах хорды:

• вершина на большой дуге $\Rightarrow$ угол опирается на меньшую дугу $150^\circ$: $\frac{150^\circ}{2}=75^\circ$;

• вершина на малой дуге $\Rightarrow$ угол опирается на большую дугу $210^\circ$: $\frac{210^\circ}{2}=105^\circ$.

Ответ: $75^\circ$ и $105^\circ$.