В прямоугольном треугольнике один из катетов равен b, а прилежащий к нему угол равен α. а) Выразите второй катет, прилежащий к нему острый угол и гипотенузу через b и α. б) Найдите их значения, если b=12см, α=42°.

а) Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором один из катетов равен $b$, а прилежащий к нему угол $\alpha$. Нам нужно выразить второй катет, прилежащий к нему острый угол и гипотенузу через $b$ и $\alpha$.

1. Второй катет $a$. Для нахождения второго катета воспользуемся отношением через тангенс угла $\alpha$. Из определения тангенса:

Тогда второй катет $a$ можно выразить как:

2. Гипотенуза $c$. Для нахождения гипотенузы используем косинус угла $\alpha$, так как:

Тогда гипотенуза $c$ будет равна:

3. Остальной острый угол $\beta$. В прямоугольном треугольнике сумма всех углов равна $180^\circ$, и один угол уже равен $90^\circ$. Таким образом, второй острый угол $\beta$ можно найти как:

б) Теперь найдем значения для случая, когда $b = 12$ см и $\alpha = 42^\circ$.

1. Второй катет $a$:

Используя значение $\tan(42^\circ) \approx 0.9004$, получаем:

2. Гипотенуза $c$:

Используя значение $\cos(42^\circ) \approx 0.7431$, получаем:

3. Остальной острый угол $\beta$:

Таким образом, для $b = 12$ см и $\alpha = 42^\circ$:

• Второй катет $a \approx 10.80$ см,

• Гипотенуза $c \approx 16.16$ см,

• Остальной угол $\beta = 48^\circ$.