Найдите площадь S правильного n-угольника, если: n=6 ,r=9cm b) n =8 r=5 корней из 3

Ответы на вопрос

Отвечает Волк Виталий.

Для нахождения площади правильного n-угольника, зная радиус описанной окружности $r$ , можно использовать формулу:

S = \frac{1}{2} n r^2 \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)

где:

Рассмотрим оба случая.

Для правильного шестиугольника ( $n = 6$ ) угол между соседними вершинами равен $\frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ . Тогда синус этого угла:

\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}

Теперь подставим значения в формулу для площади:

S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 9^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 81 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}

S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 81 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 243\sqrt{3} \, \text{см}^2

Для правильного восьмиугольника ( $n = 8$ ) угол между соседними вершинами равен $\frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$ . Синус этого угла:

\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}

Теперь подставим значения в формулу для площади:

S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot (5\sqrt{3})^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

Рассчитаем шаг за шагом:

(5\sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75

Подставляем в формулу:

S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 75 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \cdot 75 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

S = 300 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 150\sqrt{2} \, \text{см}^2

Для правильного шестиугольника с радиусом 9 см площадь равна $243\sqrt{3} \, \text{см}^2$

Ответы на вопрос