Дан куб АВСDA1B1C1D1. Найдите угол между диагоналями А1С1 и ВС1.

Чтобы найти угол между диагоналями $A_1C_1$ и $BC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, нужно выполнить несколько шагов.

1. Определение координат вершин куба:

   Пусть куб расположен в трёхмерной системе координат, где одна из вершин куба находится в начале координат.

   • Вершина $A$ имеет координаты $(0, 0, 0)$.

   • Вершина $B$ имеет координаты $(a, 0, 0)$, где $a$ — длина ребра куба.

   • Вершина $C$ имеет координаты $(a, a, 0)$.

   • Вершина $D$ имеет координаты $(0, a, 0)$.

   • Вершина $A_1$ имеет координаты $(0, 0, a)$.

   • Вершина $B_1$ имеет координаты $(a, 0, a)$.

   • Вершина $C_1$ имеет координаты $(a, a, a)$.

   • Вершина $D_1$ имеет координаты $(0, a, a)$.

2. Определение векторов, составляющих угол:

   Для нахождения угла между векторами, можно воспользоваться формулой для скалярного произведения. Угол $\theta$ между двумя векторами $\mathbf{v}_1$ и $\mathbf{v}_2$ вычисляется по формуле:

   $$\cos \theta = \frac{\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2}{|\mathbf{v}_1| |\mathbf{v}_2|}$$

   Рассмотрим два вектора, которые определяют диагонали:

   • Диагональ $A_1C_1$ соединяет вершины $A_1(0, 0, a)$ и $C_1(a, a, a)$. Вектор $\overrightarrow{A_1C_1} = (a, a, 0)$.

   • Диагональ $BC_1$ соединяет вершины $B(a, 0, 0)$ и $C_1(a, a, a)$. Вектор $\overrightarrow{BC_1} = (0, a, a)$.

3. Вычисление скалярного произведения векторов:

   Скалярное произведение векторов $\overrightarrow{A_1C_1} = (a, a, 0)$ и $\overrightarrow{BC_1} = (0, a, a)$:

   $$\overrightarrow{A_1C_1} \cdot \overrightarrow{BC_1} = a \cdot 0 + a \cdot a + 0 \cdot a = a^2$$

4. Вычисление длин векторов:

   Длина вектора $\overrightarrow{A_1C_1}$:

   $$|\overrightarrow{A_1C_1}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 0^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$$