Найди площадь треугольника MNK, если MK=17, KN=10, и из точки M и K достроен прямоугольный треугольник, HK=8.

Чтобы найти площадь треугольника MNK, необходимо разобраться в геометрической ситуации. Из условия задачи известно, что из точек M и K достроены прямоугольные треугольники, и что одна из сторон этих треугольников имеет длину HK = 8.

1. Сначала найдем площадь прямоугольного треугольника MHK.

   Поскольку треугольник MHK является прямоугольным, его площадь можно найти по формуле:

   $$S_{MHK} = \frac{1}{2} \cdot MH \cdot HK$$

   Из условия задачи известно, что HK = 8, но нам нужно найти длину MH. Для этого вспомним, что сторона MK является гипотенузой прямоугольного треугольника MHK. Применим теорему Пифагора:

   $$MK^2 = MH^2 + HK^2$$

   Подставим известные значения:

   $$17^2 = MH^2 + 8^2$$ $$289 = MH^2 + 64$$ $$MH^2 = 289 - 64 = 225$$ $$MH = \sqrt{225} = 15$$

   Теперь можем вычислить площадь треугольника MHK:

   $$S_{MHK} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 8 = 60$$

2. Теперь найдем площадь треугольника MNK.

   Площадь треугольника MNK можно вычислить с помощью формулы для площади треугольника по сторонам, если известны длины всех трех сторон. Для этого используем полупериметр $p$ и формулу Герона.

   Полупериметр $p$ треугольника MNK вычисляется так:

   $$p = \frac{MK + KN + MN}{2}$$

   Однако, длина стороны MN в задаче не дана напрямую. Чтобы найти её, нужно учесть, что MHK — прямоугольный треугольник, и, вероятно, угол $\angle MHK$ является прямым. Однако для точного ответа требуется более четкое описание геометрической фигуры.