Думал на протяжении нескольких секунд

В трапеции ABCD через точку O — пересечение диагоналей — проведён отрезок MN, параллельный основаниям AD и BC. Докажите, что отрезок MN в точке O делится пополам (запишите выражения MO и ON через основания AD = x и BC = y). Определите длину отрезка MN, если AD = 7 см и BC = 5 см (запишите ответ в виде несократимой дроби).

Вот как это решается «в лоб», через координаты — быстро и без лишней геометрической акробатики.

Пусть трапеция $ABCD$ так расположена, что основания параллельны оси $Ox$:
$A=(0,0),\; D=(x,0)$ — нижнее основание $AD=x$,
$B=(0,1),\; C=(y,1)$ — верхнее основание $BC=y$.

Диагонали:

• $AC:$ $(tb,\; t)=(ty,\; t)$ при $t\in[0,1]$;

• $BD:$ $(sa,\; 1-s)=(sx,\; 1-s)$ при $s\in[0,1]$.

Точка пересечения $O$ удовлетворяет

Значит

Проводим через $O$ отрезок $MN$, параллельный основаниям — это горизонталь $y=\dfrac{x}{x+y}$.

• На левой боковой $AB$ (ось $x=0$) она даёт $M=(0,\; \dfrac{x}{x+y})$.

• На правой боковой $CD$ (прямая от $D(x,0)$ к $C(y,1)$) при параметре $t=\dfrac{x}{x+y}$ получаем

Отсюда сразу:

То есть $O$ — середина отрезка $MN$ (пополам делит), а длина самого отрезка — гармоническое среднее оснований: