В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит равнобедренная трапеция, BC || AD, причем AB=3 см, AD=5 см. Диагональ призмы B1D образует с плоскостью основания угол, равный 45°, а плоскости AA1B1 и B1BD перпендикулярны. Найдите объем призмы.

Возьмём основание $ABCD$ в плоскости, причём $AD\parallel BC$, $AB=CD=3$, $AD=5$.

1. Угол между диагональю призмы $B_1D$ и основанием равен $45^\circ$. В прямой призме проекция $B_1D$ на основание — это $BD$, а перпендикулярная составляющая — высота призмы $H$. Тогда

2. Плоскости $AA_1B_1$ и $B_1BD$ перпендикулярны. Их линия пересечения — вертикаль $BB_1$. В плоскости $AA_1B_1$ лежит отрезок $AB$, причём $AB\perp BB_1$ (призма прямая). Следовательно, $AB\perp$ плоскости $B_1BD$, а значит $AB\perp BD$ в основании.

3. В треугольнике $ABD$ угол при $B$ прямой, поэтому

Отсюда высота призмы $H=4$.

4. Высота трапеции (расстояние между основаниями $AD$ и $BC$) равна расстоянию от точки $B$ до прямой $AD$. В прямоугольном $\triangle ABD$ это высота к гипотенузе:

5. Для равнобедренной трапеции проекция боковой стороны на основание равна $\frac{AD-BC}{2}$. Из

получаем

(Берём $BC$.)

6. Площадь основания (трапеции):