Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 4 и составляет с плоскостью боковой грани угол 30°. Найти объём призмы и описанного около неё цилиндра.

Рассмотрим правильную четырёхугольную призму (основание — квадрат со стороной $a$, высота $h$). Пространственная диагональ соединяет противоположные вершины, её длина дана:

Угол между диагональю и плоскостью боковой грани равен $30^\circ$. Возьмём боковую грань, например, в плоскости $x=\text{const}$. Нормаль к этой плоскости направлена вдоль оси $x$. Вектор диагонали можно взять $\vec v=(a,a,h)$. Тогда проекция $\vec v$ на нормаль имеет длину $|a|$, и по формуле угла между прямой и плоскостью

Отсюда при $\varphi=30^\circ$ получаем

Подставляя в уравнение диагонали:

Объём призмы:

Объём цилиндра, описанного около призмы:
Около квадрата со стороной $a$ описана окружность радиуса

высота цилиндра равна высоте призмы $h=2\sqrt{2}$. Тогда

Ответ: $V_{\text{пр}}=8\sqrt{2}$, $V_{\text{цил}}=4\sqrt{2}\pi$.