Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 132. Точка E — середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC.

Для решения задачи сначала разберемся с параметрами правильной четырехугольной пирамиды и ее объемом.

Пусть основание правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ — это квадрат, а вершина $S$ находится прямо над центром квадрата. Объем пирамиды можно вычислить по формуле:

где $S_основания$ — площадь основания (квадрата), а $h$ — высота пирамиды.

У нас дан объем правильной четырехугольной пирамиды $V = 132$. Пусть сторона квадрата основания $a$, тогда площадь основания будет:

Объем пирамиды будет:

Отсюда можно выразить $a^2 \cdot h$:

Теперь, перейдем к пирамиде $EABC$. Точка $E$ — это середина ребра $SB$, а значит, $SE = \frac{1}{2} \cdot SB$. Так как $S$ — вершина правильной пирамиды, то все ребра основания равны и $SB = a$. Таким образом, $SE = \frac{a}{2}$.

Площадь основания треугольной пирамиды $EABC$ можно посчитать как площадь треугольника с вершинами в точках $E$, $A$ и $C$, но для упрощения задачи заметим, что объем пирамиды $EABC$ будет пропорционален объему всей пирамиды $SABCD$, поскольку вершина пирамиды $EABC$ лежит внутри пирамиды $SABCD$, а основание $EABC$ — часть основания $SABCD$.

Так как точка $E$ делит ребро $SB$ пополам, то высота треугольной пирамиды $EABC$ будет в два раза меньше высоты пирамиды $SABCD$. Следовательно, объем пирамиды $EABC$ будет равен половине объема пирамиды $SABCD$:

Ответ: объем треугольной пирамиды $EABC$ равен 66.