Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды равно 20, сторона основания равна 10. Найдите объём

Ответы на вопрос

Отвечает Искалиева Алина.

Для того чтобы найти объём правильной шестиугольной пирамиды, нужно использовать следующую формулу:

V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h

где $V$ — объём пирамиды, $S_{\text{осн}}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Шаг 1: Найдём площадь основания.

Основанием правильной шестиугольной пирамиды является правильный шестиугольник. Площадь правильного шестиугольника можно вычислить по формуле:

S_{\text{осн}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot a^2

где $a$ — длина стороны шестиугольника. В нашем случае $a = 10$ . Подставляем в формулу:

S_{\text{осн}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 10^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 100 = 150\sqrt{3}

Шаг 2: Найдём высоту пирамиды.

Для нахождения высоты пирамиды нужно сначала найти апофему $l$ — расстояние от вершины пирамиды до центра основания. Мы знаем, что боковое ребро пирамиды равно 20, а также что в основании шестиугольника угол между двумя соседними отрезками (сторонами) равен 120°.

Так как апофема шестиугольника — это высота равнобедренного треугольника, построенного на одной из сторон основания, можем использовать теорему Пифагора для этого треугольника.

Для этого найдем высоту этого треугольника. Сначала разделим его пополам, получим прямоугольный треугольник с катетами:

один катет равен половине стороны шестиугольника, то есть $5$ ,
второй катет — это высота шестиугольника, которую мы и хотим найти.

Используем теорему Пифагора:

l^2 = 20^2 - 5^2 = 400 - 25 = 375

Тогда:

l = \sqrt{375} = 5\sqrt{15}

Так что апофема пирамиды равна $l = 5\sqrt{15}$ .

Шаг 3: Найдём высоту пирамиды.

Теперь, зная боковое ребро и апофему, мы можем найти высоту пирамиды. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, апофемой и половиной стороны основания, применим теорему Пифагора:

h^2 + 5^2 = 20^2

h^2 + 25 = 400

h^2 = 375

h = \sqrt{375} = 5\sqrt{15}

Шаг 4: Находим объём.

Теперь, имея площадь основания $S_{\text{осн}} = 150\sqrt{3}$ и высоту $h = 5\sqrt{15}$ , мы можем найти объём пирамиды по формуле:

V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h

Подставляем значения:

V = \frac{1}{3} \cdot 150\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{15} = \frac{1}{3} \cdot 750 \cdot \sqrt{45}

V = \frac{1}{3} \cdot 750 \cdot 3\sqrt{5} = 750\sqrt{5}

Итак, объём пирамиды равен $750\sqrt{5}$ кубических единиц.

Последние заданные вопросы в категории Геометрия

Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды равно 20, сторона основания равна 10. Найдите объём пирамиды.