В равностороннем треугольнике АБЦ проведена высота БД. Найдите углы треугольника АБД (с доказательством).

В равностороннем треугольнике ABC, высота BD делит треугольник на два прямоугольных треугольника, каждый из которых является равнобедренным.

1. Доказательство:
   В равностороннем треугольнике все углы равны и составляют по 60° каждый. Высота BD проведена из вершины B, и она является медианой, биссектрисой и перпендикуляром. Это свойство характерно для высоты в равностороннем треугольнике. Высота делит сторону AC пополам, и точка D является серединой этой стороны.

2. Важные факты о треугольнике АБЦ:

   • Все стороны равны, то есть $AB = BC = CA$.

   • Углы треугольника ABC равны 60° (так как это равносторонний треугольник).

3. Разделение на два прямоугольных треугольника:
   После того как высота BD проведена, мы получаем два прямоугольных треугольника: $ABD$ и $CBD$. В этих треугольниках угол при вершине D равен 90° (так как BD — высота, она перпендикулярна AC).

4. Определение углов треугольника АБД:

   • Угол $\angle ABD$ равен 30°. Это объясняется тем, что высота BD делит угол $\angle ABC$ пополам, а угол $\angle ABC$ в равностороннем треугольнике равен 60°. Значит, угол $\angle ABD = 60° / 2 = 30°$.

   • Угол $\angle ADB$ в прямоугольном треугольнике равен 60°, так как сумма углов в треугольнике составляет 180°, и угол $\angle ABD = 30°$, а угол $\angle BDA = 90°$. Следовательно, $\angle ADB = 180° - 90° - 30° = 60°$.

5. Ответ: Углы треугольника АБД:

   • $\angle ABD = 30°$,

   • $\angle ADB = 60°$,

   • $\angle BAD = 90°$.