В равнобедренной трапеции основания равны 8 и 12 см, меньший угол равен α. Найдите периметр и площадь трапеции.

Для решения задачи, нужно найти периметр и площадь равнобедренной трапеции, в которой основания равны 8 и 12 см, а меньший угол равен α.

1. Периметр трапеции

Периметр трапеции — это сумма длин всех её сторон. В равнобедренной трапеции боковые стороны одинаковы, обозначим их длину через $b$.

• Длина оснований трапеции: 8 см и 12 см.

• Боковые стороны равны $b$.

Периметр трапеции можно выразить как сумму длин всех её сторон:

Теперь нужно найти длину боковых сторон $b$.

2. Длина боковой стороны $b$

Для этого воспользуемся свойствами равнобедренной трапеции. В равнобедренной трапеции боковые стороны образуют с основанием угол $\alpha$, а также перпендикулярно проведены высоты. Разделим трапецию на два прямоугольных треугольника.

• Разница между основаниями: $12 - 8 = 4$ см.

• Эта разница делится пополам на две равные части по 2 см.

Таким образом, у нас получается прямоугольный треугольник, где:

• одна катета — это 2 см (половина разницы между основаниями),

• другой катет — это высота трапеции, обозначим её через $h$,

• гипотенуза — это боковая сторона $b$.

Используем тригонометрию, чтобы найти боковую сторону. В этом прямоугольном треугольнике:

Отсюда можно выразить высоту $h$:

Теперь применим теорему Пифагора для нахождения боковой стороны $b$:

Таким образом, боковую сторону $b$ можно выразить как:

Это будет длина боковой стороны трапеции.

3. Площадь трапеции

Площадь трапеции рассчитывается по формуле:

где $a = 8$ см и $b = 12$ см — основания, а $h = 2 \cdot \tan(\alpha)$ — высота.

Подставляем значения в формулу для площади:

Таким образом, периметр трапеции выражается как $P = 20 + 2b$, а площадь как $S = 20 \cdot \tan(\alpha)$, где $b = \sqrt{4 + 4 \cdot \tan^2(\alpha)}$.