В равнобедренном треугольнике АВС медианы ВК и АМ пересекаются в точке О. Найдите угол АОК.

В равнобедренном треугольнике $ABC$, где $AB = AC$, медианы $BK$ и $AM$ пересекаются в точке $O$. Задача состоит в нахождении угла $\angle AOK$.

1. Свойства равнобедренного треугольника:

   • В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные из вершины, совпадают. То есть медиана $AM$ является одновременно биссектрисой и высотой.

   • Треугольник $ABC$ имеет симметрию относительно оси, проходящей через вершину $A$ и основание $BC$, поэтому точки $B$ и $C$ симметричны относительно этой оси.

2. Пересечение медиан:

   • Медианы треугольника пересекаются в точке $O$, которая является центроидом треугольника. Центроид делит каждую медиану в отношении $2:1$, при этом большая часть медианы находится от вершины к центроиду.

3. Угол $\angle AOK$:

   • Поскольку треугольник равнобедренный, и медиана $AM$ делит угол $\angle BAC$ пополам, точка пересечения медиан, то есть центроид $O$, делит угол на два равных угла.

   • В треугольнике $ABC$ угол $\angle BAC$ можно найти через геометрические свойства. Поскольку медианы пересекаются в точке $O$, угол $\angle AOK$ также будет равен половине угла, образованного между медианами.

4. Решение:

   • Угол $\angle BAC$ в равнобедренном треугольнике делится пополам медианой $AM$, и угол $\angle AOK$, который является углом между медианами, будет составлять $30^\circ$.