что такое косинус

Косинус — это фундаментальная тригонометрическая функция, которая измеряет «горизонтальную» составляющую угла.

Если кратко и по-деловому:

1) Геометрический смысл.

• В прямоугольном треугольнике косинус острого угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе:
  cos α = (прилежащий катет) / (гипотенуза).

• На единичной окружности (радиус 1) косинус угла α — это x-координата точки на окружности, получаемой поворотом от положительного направления оси x на угол α против часовой стрелки.

2) Значения и диапазон.

• Для любого действительного α: −1 ≤ cos α ≤ 1.

• Несколько «опорных» значений (в радианах):
  cos 0 = 1, cos (π/6) = √3/2, cos (π/4) = √2/2, cos (π/3) = 1/2, cos (π/2) = 0,
  cos π = −1, cos (3π/2) = 0, cos 2π = 1.

3) Свойства.

• Чётность: cos(−x) = cos x.

• Периодичность: основной период 2π, то есть cos(x + 2πk) = cos x.

• Ограниченность: |cos x| ≤ 1.

• Связь с синусом: cos²x + sin²x = 1.

• Формулы двойного и суммарного угла:
  cos(2x) = 2cos²x − 1 = 1 − 2sin²x;
  cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b.

4) Векторная интерпретация.
Косинус угла между ненулевыми векторами u и v в евклидовом пространстве:
cos θ = ( u·v ) / (‖u‖‖v‖).
Это связывает косинус с проекцией одного вектора на другой и широко используется в геометрии, физике, машинном обучении (косинусная близость).

5) Аналитическое задание.

• Ряд Тейлора в нуле:
  cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − x⁶/6! + … (сходится для всех x).

• Косинус — решение уравнения y″ + y = 0 с начальными условиями y(0)=1, y′(0)=0.

6) Применения.

• Закон косинусов в треугольнике:
  c² = a² + b² − 2ab cos γ (связывает стороны и угол).

• Колебательные процессы: x(t) = A cos(ωt + φ).

• Повороты и проекции в линейной алгебре и графике.

7) Обратная функция.
arccos x (или cos⁻¹x) — угол из [0, π], косинус которого равен x.

Если видеть картинку мысленно: косинус — это «насколько далеко по оси x» лежит точка, соответствующая углу; от этого и все свойства — чётность (симметрия по оси x), период 2π (полный оборот) и пределы от −1 до 1 (радиус окружности равен 1).